elaborazione delle immagini con il computer

Cominciamo da questa immagine (cliccala):

NON e' un cartone animato o un disegno.
E' stata ottenuta illuminando un corpo umano con una certa radiazione (fotoni) che lo attraversa e raccogliendo dall'altra parte del corpo con dei sensori i fotoni che non sono stati assorbiti.

A questo punto i sensori mandano i dati ad un computer che comincia a fare calcoli.

Questi calcoli sono alla fin fine delle somme e delle moltiplicazioni, ma in un numero enorme e fatte velocissimamente.

Praticamente e' solo matematica.

E' come fare una fotografia con il flash.
Solo che la macchina fotografica (che e' un sensore) riceve la luce che dal flash e' rimbalzata sull'oggetto da fotografare (la luce non attraversa l'oggetto, a meno che non sia trasparente); invece nel caso del torace qui sopra il flash e' a raggi X e il sensore sta dall'altra parte, poiche' il corpo umano e' quasi trasparente ai raggi X.

In ospedale vengono scattate tante di queste "fotografie" girando intorno al corpo. Una per ogni angolazione.
Il computer poi le rimette insieme.
In questo caso la formula per calcolare la figura 3D del corpo usando i dati dei sensori e' stata scoperta (inventata) nel 1917, anche se allora non esistevano ne' i sensori, ne i computer!

Comunque se si puo' ottenere l'immagine dell'interno di un corpo umano (senza operazioni chirurgiche) in 3 dimensioni, puoi ben immaginare come sia altrettanto possibile visualizzare uno scritto, bidimensionale soltanto, raschiato via (ma che ha lasciato comunque una debolissima traccia) centinaia di anni fa.

La formula matematica e' un po' diversa, ed e' molto piu' facile.

Per capirla occorre prima di tutto capire cosa e' una fotografia digitale e cosa c'entrano i numeri con le fotografie. Una volta capito il collegamento, invece di immagini parleremo di numeri, cioe' useremo la matematica.

Poi torneremo indietro, cioe' dai numeri torneremo alle immagini (che e' il lavoro che fanno il computer o la televisione o il cellulare con il loro schermo).

come calcolare pi greco

Prendi il cerchio.

Disegna un quadrato esterno al cerchio (che lo lambisce in quattro punti soltanto) e un quadrato interno (che lo tocca in 4 punti soltanto).

Se il cerchio ha raggio R allora si puo' calcolare l'area del quadrato che sta fuori (AF) e l'area del quadrato che sta dentro (AD) e affermare che l'area del cerchio e' un numero compreso fra AF e AD.

Il quadrato fuori ha area (2xR) x (2xR) = 4xRxR.
Il quadrato dentro ha area 2.82xRxR (se vuoi te lo dimostro: e' facile).

Per cui l'area del cerchio e' un numero NxRxR.

N (che poi viene chiamato pi greco) allora e' piu' piccolo di 4 e piu' grande di 2.82.

Se si vuole essere piu' precisi si usa un pentagono fuori e un pentagono dentro oppure un esagono fuori e un esagono dentro.

Se vuoi divertirti clicca qui.

La misura del cerchio

E' un libro cortissimo perche' sono rimaste solo tre frasi.

Pero' importantissime:

La prima per esempio dice che l'area di un cerchio equivale all'area di un triangolo rettangolo con un lato corto uguale alla circonferenza e l'altro lato corto uguale al raggio (lo sai dalla quinta elementare)

La terza dice che il pi greco e' un po' piu' di 3+(10/71) cioe' 3,14084507... e un po' meno di 3+(1/7) cioe' 3,14285714...

Nota che Archimede non dice : "pi-greco vale TOT", ma dice che sta fra due numeri-confine, uno piu' grande e uno piu' piccolo. Se proprio vuoi un numero solo magari puoi prendere la media dei due. Ma la verita' e' che il numero vero si trova da qualche parte fra i due confini.

Questo calcolo di pi greco e' una cosa eccezionale per il 200 A.C.; di solito ci si accontentava di 3,1.
Inoltre Archimede sapeva dimostrarlo, mentre gli altri andavano a occhio.

Infine Archimede col suo metodo poteva andare avanti quanto voleva (dipendeva dalla sua pazienza) a stringere i due numeri-confine sempre piu' vicini. Cosi' il numero pi-greco che rimaneva schiacciato in mezzo diventava sempre piu' preciso.

Se vuoi essre precisissimo puoi usare questo valore per pigreco.

il Metodo

In questo libro Archimede spiega il suo metodo per calcolare aree e volumi di oggetti geometrici curvi.
Pochi matematici erano in grado di capirlo a quel tempo e anche dopo.

Pensa che ci sono voluti quasi 2000 anni perche' gli uomini riscoprissero il Metodo (che oggi si studia in quarta/quinta superiore al liceo o all'ITIS e poi all'universita'). Anzi, chi l'ha scoperto ammette di aver un po' copiato l'idea da (un paio di libri) di Archimede che erano sopravvissuti (sempre in forma di codici) al Medioevo.

Dettagli: qui.

tecnologie per leggere sotto

Questa e' una delle preghiere:


(e' in greco medievale, non si capisce comunque nulla)

e questo e' quello che gli scienziati riescono a far risaltare sotto la preghiera (si vede anche la figura di un cerchio, mentre le scritte sono messe in evidenza in bianco):


Nota che il libro di Archimede e' scritto perpendicolarmente al libro di preghiere perche' i fogli del libro di Archimede erano grandi e sono stati piegati a meta' per fare un libretto piu' piccolo.

Gli scienziati usano diversi metodi per far risaltare quello che c'e' sotto le preghiere (tieni conto che Ioannes aveva raschiato via per benino l'inchiostro usato dall'amanuense che aveva copiato Archimede):

- i raggi X (come all'ospedale)
- i led a diversi colori
- i raggi ultravioletti (UV, quelli della lampada abbronzante)

Anche se sono tutte forme della stessa cosa (radiazione elettromagnetica, clicca sopra per ingrandire):


Per esempio:

Prendiamo la parte in alto della miniatura delle preghiere:


vediamo che cosa c'e' sotto con i raggi X:


giriamo per leggere le scritte (chi sa il greco...):

Sull’equilibrio dei piani

Questo libro in realta' sono DUE.

Nel primo parla di come bilanciare le leve e dove si trova il baricentro di un triangolo e di un trapezio.

Nel secondo parla di come trovare il baricentro di una parabola.

dettagli:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/ARCHIMEDE/opera1.htm


Secondo te dov'e' il baricentro di un cerchio?

Come faresti a trovare il baricentro di un quadrato?

Libri contenuti nel palinsesto

Il palinsesto contiene questi libri di Archimede:

• Sull’equilibrio dei piani
• Sulle spirali
• La misura del cerchio
• Sulla sfera e il cilindro
• Sui corpi galleggianti
• Il metodo (*)
  
• Stomachion

(*) questo libro esiste solo nel palinsesto, mentre tutti gli altri erano gia' noti grazie ad altri codici contenenti opere di Archimede

Se vuoi vedere dov'era Siracusa (e dov'e' ancora adesso) o Pergamo clicca qui:

http://www.euratlas.com/history_europe/europe_map_0001.html

Valore del Palinsesto

Gia' se fosse solamente un libro di preghiere del XIII secolo avrebbe un valore enorme.
Figuriamoci con i libri di Archimede scritti sotto!

Infatti il miliardario ha dovuto pagare 2000000 di dollari per averlo.

Per tutti questi soldi pero' non devi immaginarti un bellissimo libro tutto colorato (*) come quelli che si comprano in libreria: in realta' essendo molto antico sembra un libro da portare alla discarica:

PS: il miliardario sta ancora cercando delle pagine che si sono staccate e che qualcuno o qualche biblioteca magari conserva in soffitta. Se ti capitano per le mani NON gettarle nella spazzatura! Il miliardario paga bene.

(*) Se vuoi vedere un codice molto colorato, antico e preziosissimo che si e' conservato benissimo, devi andare a Dublino; e' il Libro di Kells (Kells e' un monastero in Irlanda). Chiaramente non dice molto sull'avanzamento del sapere dell'umanita' (come invece fa il Palinsesto di Archimede), ma e' molto bello. Cos'e' piu' prezioso?

Storia del Palinsesto

Nel III secolo A.C. Archimede, abitante di Siracusa in Sicilia, scrive dei libri di matematica (su papiro) in greco. La Sicilia era abitata dai Greci (Magna Grecia) ma viene conquistata dai Romani proprio nel periodo in cui visse e mori' Archimede.

Nel X secolo D.C. un amanuense copia da un papiro alcuni scritti di Archimede su una pergamena

Nel XIII secolo D.C. un altro amanuense Ioannes (Giovanni) Myronas, raschia via gli scritti di Archimede e ci scrive al loro posto delle preghiere. Finisce di scrivere il 14 aprile 1229.
Il libro viene usato per recitare preghiere in un Monastero vicino a Gerusalemme per molti anni.


Nel 1899 viene ritrovato da uno studioso greco che riesce a leggere sotto le preghiere e scopre che si tratta di matematica.

All'inizio del '900 gran parte del testo di matematica viene letto e tradotto dal greco antico.
Poi sparisce dalla circolazione.

Viene ritrovato e messo all'asta nel 1998 e acquistato da un miliardario, che lo affida ad un museo perche' si scopra qualcosa di piu' su Archimede.

Da allora un gruppo di studiosi ci lavora:
- esperti di libri antichi
- esperti di matematica antica
- esperti di fisica
- esperti di elaborazione delle immagini con il computer

Terminologia

Palinsesto: pergamena il cui testo e' stato raschiato via per poter scriverci sopra qualcosa d'altro; oggi questa parola si usa per dire quali sono i programmi del giorno alla televisione: per esempio Canale5 scrive su un foglio l'elenco dei programmi di oggi (ora d'inizio e programma + pubblicita'), poi alla fine del giorno cancella tutto e ci riscrive sopra quello di domani.

Pergamena: un foglio fatto con la pelle di pecora (o capra) trattata opportunamente , su cui scrivevano gli antichi (usata anche oggi in alcuni casi). Si chiama cosi' perche' si dice che sia stata inventata a Pergamo che era una citta' della Asia Minore (adesso si chiama Turchia) nel II secolo A.C.

Papiro: foglio o rotolo fatto con strisce di papiro che e' una pianta molto diffusa in Egitto; e' stata la prima forma di "carta" : non per niente in inglese la carta si chiama "paper", in francese "papier", in spagnolo "papel". Archimede scriveva (oltre che sulla sabbia della spiaggia di Siracusa) su papiro perche' la pergamena non era stata ancora inventata.

Codice: libro scritto a mano, detto anche manoscritto

Baricentro: prendi un righello e con un dito tienilo in equilibrio orizzontale. Il righello non cade ne' da una parte ne' dall'altra se il dito sta sotto il baricentro. Prendi un cartoncino a forma di triangolo e tienilo sulla punta di un dito. Per farlo stare in equilibrio devi mettere il dito sotto il baricentro. Invece di fare un sacco di prove, Archimede sapeva come CALCOLARE il punto dove mettere il dito.

Equilibrio della Leva: se due bambini giocano sulla bascula ma uno pesa molto di piu' dell'altro, la bascula va giu' sempre dalla parte del piu' pesante e non si divertono.


Pero' basta che quello piu' pesante si avvicini al centro di un po' e il divertimento comincia. Ma di quanto si deve avvicinare? I bambini fanno un po' di prove finche' non trovano il punto dove sedersi. Archimede sapeva come CALCOLARE il punto esatto dove sedersi (pero' bisognava dirgli quanto pesavano i due bambini...).

Parabola: e' una linea curva a forma di "U" che piaceva molto ad Archimede (l'altra era la spirale).



Se metti la U su uno spillo e la fai girare velocissimamente ti apparira' una specie di coppa. Questa coppa si chiama "paraboloide di rotazione". Le "parabole" per prendere Sky in realta' sono paraboloidi, ma tutti le chiamano parabole. Le parabole sono linee , non superfici.
Se prendi un bicchiere con dentro l'acqua e lo metti su un disco che gira velocemente, l'acqua non resta piatta ma si alza ai bordi e forma una specie di coppa che ha la forma di paraboloide.
Appartengono alla leggenda di Archimede gli Specchi Ustori.